РАЗМЫШЛЕНИЯ О ТЕОРЕМЕ ФЕРМА

 

Напрасно пытаться сделать посредством  большего то,

что может быть сделано посредством меньшего.

Оккама

 

Вступление.

 

Господа! Предлагаю вам перечень найденных мною решений математических вопросов:

 

 

1. Доказательство Теоремы Ферма на основании того факта, что уравнения  и  идентичны (преобразовываются одно  в другое). Это позволяет утверждать, что в уравнении , при n – целом числе >2 одна из переменных (x;  y;  z) должна равняться Б (бесконечной периодической дроби). Причем избавиться от этой бесконечной непериодической дроби невозможно.

На возможность подобного решения указывается в одном из номеров «Техники молодежи» (примерно 1980), где утверждается, что теорема Ферма справедлива, потому что справедливо уравнение , - правда, без основания этого утверждения. Поэтому в данном решении нет ничего нового (!?).

Учитывая этот вопрос, я пошел дальше и решил проблему «в целом»: при  каких значениях  уравнение  может иметь целочисленные по x;  y;  z решения?

2.Это решение можно сформулировать так: уравнение , являясь уравнением четырех переменных (x;  y;  z; n) при , может иметь целочисленные по всем четырем переменным решения только при n=1 или 2. Во всех остальных случаях () целочисленность (конечность) любых трех их четырех переменных приводит значение четвертой к равенству «Б» или бесконечности.

 

Для доказательства этого решения понадобилось:

2.1. показать возможность геометрической интерпретации всех решений уравнения  при  в виде треугольника со сторонами x;  y;  z.

 

2.2. Рассмотреть кривые, являющиеся геометрическим местом () вершин этих треугольников при фиксированном (const) значении «n» и стороны треугольника, лежащей напротив этой вершины.

 

2.3. Показать «исключительность» (родственность) этих кривых, заключающуюся в постоянстве (const) их кривизны на каждом их участке при .

Описать способ решения на предмет их (этих формул) целочисленности по x;  y;  z при n>1.

 

2.4. Вывести с помощью этого способа формулы для нахождения целочисленных по x;  y;  z решений уравнения  как от одной переменной (К), так и от двух (). Причем, эти формулы идентичны аналогичным формулам Эвклида и Пифагора. Одновременный вывод этих формул говорит об их  «родственности».

Сравните выведенные с помощью этого способа тождества ;      и формулы Эвклида  и Пифагора для нахождения целочисленных решений квадратного уравнения .

Пифагор:  ; , где m – нечетное число.

Эвклид: ; ; .

 

2.5. Показать взаимосвязь переменных k и n , а на основании этого утверждать, что обязательная конечность или бесконечная периодичность  k приводит n к бесконечной непериодичности. Кроме этих вопросов, непосредственно касающихся решения      данной проблемы, существуют и другие.

 

 

Основная часть.

 

^{Теорема Ферма гласит: Уравнение вида xⁿ + уⁿ = zⁿ , где n – целое положительное число, не имеет целочисленных по х; у; z; решений при n > 2. Доказательство любой теоремы, в том числе и Теоремы Ферма, начинается с установления её исходных данных, то есть с установления того, что нам Дано и что требуется Доказать. Как ни странно, именно это в формулировке автора (нарочно! или нет?) тщательно завуалировано.*}

 

^{Поэтому именно с этого и начнем. Предположим, что мы нашли решение уравнения xⁿ + уⁿ = zⁿ, в котором: ;; ; где  - целое число,}

 ^{- конечная дробь,  - бесконечная периодическая дробь.}

 

^{В этом случае мы можем избавиться и от конечности дроби, и от бесконечной её периодичности, умножив уравнение xⁿ+уⁿ=zⁿ  на их общий знаменатель (bdf)ⁿ.}

 

^{Тогда получим: (adf)ⁿ+(cbf)ⁿ=(ebd)ⁿ,}

^{где все числа (adf), (cbf), (ebd) - целые. Единственно от чего мы не могли бы избавиться, это от бесконечной непериодической дроби. Но отношение целых чисел не может равняться Б (бесконечной непериодической дроби).}

^{Следовательно, для выполнения Теоремы Ферма, в справедливости которой никто не сомневается, необходимо записать:}

 

^{Дано: Уравнение вида xⁿ+уⁿ=zⁿ , где n - целое положительное число.}

Требуется Доказать, что х; у; z; могут принимать целочисленные (конечные) значения только при n=1 и n=2; во всех остальных случаях (при n>2) одна из переменных (х; у; z;) должна равняться Б – бесконечной непериодической дроби.

 

^{Вспомним, что мы знаем о бесконечных непериодических дробях. Из школьной программы всем известна формула для  записи (описания) бесконечной непериодической дроби: , где n – целое положительное число. Вопрос заключается в установлении «пределов» её справедливости. То есть, необходимо установить, при каких значениях а данная формула справедлива при различных целых положительных значениях n.}

        

^{При n=1 данная формула не справедлива ни при каких целых конечных,}

бесконечных периодических значениях , где х и у – целые положительные числа.

^{При n=2 данная формула справедлива только при , равном целому положительному числу. То есть, когда х = ау. Но и в этом случае она содержит в себе гораздо больше информации, чем кажется на первый взгляд.}

 

^{Разберемся на примере: , отсюда следует  (на первый взгляд), что , то есть .}

^{Но ведь число 2 мы можем представить в виде дроби  и т.д.}

^{Тогда получаем: но 2Б всё равно остается Б (бесконечной не периодической дробью). Отсюда - . Подставляя значения  и т.д., мы получим  и т.д. до бесконечности.*}

       

^{При , где х, у - произвольные целые положительные числа, не связанные зависимостью х=ау; (где а–целое число) данная формула справедлива не всегда.}

 

^{Например:. Возможны и другие варианты}.

^{В дальнейшем будет показано, при каких значениях , данная формула не справедлива при n=2. Насколько мне было известно, теория чисел указывает только комбинации чисел, кратных 3, 4, 5.** Однако, набор этих чисел гораздо шире.}

^{При n > 3 данная формула справедлива при любых значениях ;  где х, у - целые положительные числа. Об этом нам говорит Теорема Ферма. Ведь, подставив в уравнение  значение , получим:}

 

      

 ^{Обозначим у Б буквой Z, учитывая, что Z - бесконечная непериодическая дробь. Тогда получим: , или , где знак ± указывает, что в уравнении, рассматриваемом в Теореме Ферма xⁿ + уⁿ = zⁿ, при  n>3, любая из переменных - х, у, z - может (и должна) равняться бесконечной непериодической дроби, при условии конечности (целочисленности) двух других. Таким образом, если границы применения формулы , рассмотренные нами выше, оговорены и доказаны в теории чисел. Теорему Ферма можно считать доказанной, так как она является следствием уравнения, где: при n = 2, а - целое число или строго определенные простые дроби; при n > 3, а - любое целое или дробное число.*}

 

^{Если данные «границы» не оговорены и не доказаны, попытаемся установить и обосновать их сами.}

^{Как мы уже установили, уравнения  и xⁿ+уⁿ=zⁿ  взаимосвязаны и возможность уравнения xⁿ + уⁿ = zⁿ  иметь конечные (целочисленные) по х; у; z; решения определяет «границы» применения уравнения .}

 

^{Поэтому поставим вопрос более «широко». Попытаемся определить (установить), при каких значениях n в интервале 1<n<уравнение вида} 

^{xⁿ + уⁿ = zⁿ ; может иметь целочисленные (конечные) по х; у; z; решения.}

 

^{В дальнейшем, для краткости изложения, будут освещены только основные (ключевые) моменты решения. Все нюансы решайте самостоятельно (или смотрите приложение). Ибо только самостоятельное их решение приводит к полному пониманию проблемы. Для большей наглядности решаемой проблемы необходимо учесть, что любое решение уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ  в интервалезначений 1<n< можно графически представить в виде треугольника со сторонами х; у; z. Или, другими словами, любой треугольник является графическим решением уравнения xⁿ+ уⁿ= zⁿ  в интервале значений 1<n< . Так как при n < 1 сумма x + y < z  и  «разрывается».}

^{При n = 1 мы получаем «критический»  с углами, при вершинах равными 0°; 180°; 0°.}

^{Решениям уравнения при n = соответствуют все равнобедренные}  с углом между равными сторонами < 60°. Остальные равнобедренные  с углом 60°< <180° соответствуют решениям уравнения, когда х=у, то есть 2xⁿ=zⁿ. Но если извлечь  из этого уравнения, получим . Учитывая, что  при , где М, N - целые положительные числа, равняется Б, получаем, что либо x, либо z должны равняться Б. Следовательно, все равнобедренные  с углом 60°<<180° и целочисленными (конечными) значениями х; z; являются решениями уравнения 2xⁿ=zⁿ , при n=Б.

 

^{Обобщая всё вышесказанное, можно сказать, что любой равнобедренный с конечными (целочисленными) значениями сторон является графическим решением уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ  при n=Б, или n=.*  Для ещё большей наглядности построим и рассмотрим кривые, являющиеся геометрическим местом (•) вершин ,  соответствующих решению уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ  при различных фиксированных значениях 1<n<и фиксированном значении одной из сторон z, x или у. Причём, x или у достаточно, ибо, фиксируя и x, и у, мы получим одинаковые кривые. Собственно, для рассмотрения всех этих кривых достаточно построить три «критические» кривые, соответствующие значениям n, равным 1; 2;.}

^{1). При фиксированном значении большей стороны (z) и n=1 мы получим отрезок прямой ______Z_______,  любая точка которого является решением уравнения,  х+у=z .}                                                                            

 

^{2). При фиксированном значении большей стороны (z) и n=2 мы получим полуокружность радиусом z/2, каждая (•) из которой является вершиной  со сторонами х; у; z; причём, левая половина этой полуокружности до (•) z/2 соответствует решениям, когда х>у; правая - х< у; (•) z/2 соответствует х=у.}

 

 

^{3). При фиксированном значении «большей» стороны (z) и n= мы получим два отрезка окружности радиуса z. Левый отрезок окружности до (•) z/2 соответствует решениям у<х = z, так как при z==1; z>y<1; 1>= 0; 0+1=1, следовательно, х=1. (•) z/2 соответствует при z>1, z<1 решению х=у, ибо любое число>1 встепени=; а  + =.}

^{Любое число <1 встепени = 0; 0+0=0. Единственное исключение – это когда z = 1, х = у; тогда  (так как = 1, а 1 + 11); но в нашем случае этим можно пренебречьи обсудить отдельно*. Правая часть окружности R=z по аналогии соответствует решениям, когда х<у.}

 

 

^{Теперь совместим эти три «критические» кривые в одном рисунке и получим:} 

 

^{Рисунок1}

 

^{Из рис. 1 следует, что любая (•) в плоскости чертежа, заключенная между кривыми, которые соответствуют значениям n=1 и n=; является вершиной , соответствующего решению уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ  при определенном значении 1<n < и z - const. Так как значение z мы можем выбирать произвольно в интервале 0<z<, то это свидетельствует о справедливости нашего утверждения, что любой  (кроме  со сторонами 1;1;1;?) является графическим изображением решения уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ в интервале значений 1<n<.}                                                                                                                                                                  

 

^{Однако, вопрос о том, каким значениям n соответствуют целочисленные (конечные) по х;у;z; решения, остается открытым. Для его решения построим аналогичные кривые при фиксированном (const) значении x.}

 

^{Для краткости приведу сразу его обобщенный рисунок: *}

 

                                                                                                    

 

^{Рисунок 2}

 

^{Рассмотрев рис.1 и  рис.2, можно сделать вывод, что выбранные нами «критические» кривые, соответствующие значениям n=1; n=2; n=; являются не только «кривыми» (так как они могут быть и прямыми), на которых лежат вершины целочисленных (конечных) по х; у; z; , но и являются также единственными «кривыми» при 1<n<, у которых на каждом отрезке кривизна постоянна (const). То есть, эти кривые являются либо отрезком прямой, либо частью окружности, либо их комбинацией. Для всех остальных значений n≠1; 2;; эти кривые являются кривыми с переменной кривизной. Отсюда логично предположить, что все остальные целочисленные (конечные) по х; у; z; решения уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ  (при  1< n <) принадлежат уравнениям с n=Б (учитывая, что} 2xⁿ=zⁿ  ^{принадлежат n=Б). Подведем под это логическое предположение математическую базу. Для этого нам необходимо найти такое геометрическое и соответствующее ему математическое решение, которое, будучи справедливым при любом 1<n<, позволяло бы вычислить все возможные целочисленные решения уравнения  и не позволяло бы x; y; z; принимать целочисленные (конечные) значения при , где М, N – целые положительные числа. Причём, М > N, то есть, n > 1 (может быть и целым числом). Таким решением является следующее:}

 

     

^{Рассмотрим данное решение на примере  (n = 2). Возьмем график функции f(})^{. Выберем на ней произвольную целочисленную по оси  х (•) х. От (•) х откладываем (в сторону уменьшения) целочисленный отрезок <х, составляющий некоторую часть k от х. Получаем другую (•) с целочисленной координатой (так как если из целого вычесть целое, то получается целое). Данную (•) соединяем с (•) графика , соответствующей координатам (х;). Получаем отрезок прямой с координатами его концов . Переместим данный отрезок, сохраняя его параллельность первоначальному положению, до совмещения его концов с точками на графике . Получим две точки с координатами по оси х, равными у и z, которые и будут являться решением уравнения (см. рис. 3)}

 

^{Рисунок 3}

 

^{В данном случае мы замещаем отрезок графика  отрезком прямой а, и получается, что сумма отрезка графика и отрезка графика =а равна отрезку графика , где - необходимое для данного построения смещение отрезка а вдоль оси х. Отсюда:}        

^{А формула принимает вид: .}

 

^{Данное построение справедливо для всех n > 1. Критические случаи (n=1; n=) рассмотрим отдельно*. Таким образом, от трех переменных х; у; z; мы перешли к переменным х; k; ; при n=2 (const). А условие целочисленности x; y; z; обеспечивается целочисленностью x; ; . Следовательно, нам нужно установить, при каких целочисленных значениях х значения  и  одновременно могут принимать целочисленные значения в квадратном уравнении (n = 2). Для понимания всех последующих рассуждений и вопроса в целом, необходимо для себя (самостоятельно) уяснить основные моменты, которые в дальнейшем изложении будут только подразумеваться.}

 

 

^{1). Так как уравнение xⁿ+уⁿ=zⁿ нельзя решать для всех n одновременно, мы решаем его (с учетом целочисленности х; у; z;) только для n=2 (или любого другого значения n>1). Таким образом, мы убираем одну переменную n.}

 

^{2). Чем больше целочисленное значение х, тем больше значений k, приводящих к целочисленному значению . Например: при х=3, может = 1;2;}

^{а при х=4, =1; 2; 3;}

^{Следовательно, возможные значения k при х=3 это}

^{при .}

^{Таким образом, k может быть либо целым числом, либо простой дробью >1. Именно >1, так как k=1 приводит значение  у к равенству 0. При k<1 построение невозможно.}

 

^{3). Учитывая второй пункт, а также то, что при любом значении х каждому значению k соответствует свое строго определенное значение, следовало бы обозначить  через (от k). Но для упрощения записи будем писать , помня о вышесказанном, так как  мы можем определить, только задав}

^{значения х; k.}

 

^{4). Имея же целью вычислить взаимосвязь х и  при каждом конкретном значении k мы получаем: при k - const, , где : - смещение при данном k и х = 1. Это подтверждается следующими выкладками. Возьмем уравнение  и придадим х  значение = 1, получим:}

^.

^{Разделив уравнение на , получим:}

 

^.

^{Сравнив оба результата, получим  или.}

 

^{5).   При этом, учитывая первый пункт, необходимо помнить, что всё последующее (второй, третий и четвертый пункты) справедливо при всех 1 < n <  (целых, дробных и  дробных периодических и непериодических значениях n).}

^{Теперь, с учетом всего вышесказанного, приступим к нахождению всех возможных целочисленных решений уравнения . Итак, от одной переменной (n) мы избавились. Теперь (временно) уберем из рассмотрения вторую (х). Для этого установим взаимосвязь между  и k  при х=1, то есть, между  и k. Тогда уравнение принимает вид:}

 

 ^{или ;}

 

^;

 

^*

 

^{Но так как мы ищем целочисленные решения уравнения  необходимо, чтобы  равнялось целому числу. Но  и поэтому для целочисленности , необходимо, чтобы х=2k  (пока с учетом целочисленности k). Тогда . Подставив эти значения х и  в уравнение , получим:}

 

 

^;

 

^;

 

^.*

 

       ^{Так как,}

^{мы получаем тождество, позволяющее вычислять целочисленные по х; у; z; решения уравнения  при целочисленных значениях k. Но k может принимать и любое дробное > 1 значение = . Как в этом случае изменится формула ?}

 

       ^{Она примет вид:.}

^{Умножив на получим:, где - целые положительные числа, причём,  так как k > 1. Данная формула, так же являясь тождеством, позволяет вычислить все целочисленные по х; у; z; решения уравнения . Решая уравнение по вх при любом конкретном значении n > 1, мы всегда будем получать уравнение на порядок ниже (n-1) степени. И только квадратное уравнение превращается в линейное (2–1=1), что и позволяет ему иметь целочисленные по х;у;z; решения.}

 

^{Таким образом,  и при всех 1<n≠2 связаны зависимостью (либо k, либо  равняются Б), но  может равняться любому конечному значению равному n (в этом случае отрезок перемещаемой прямой является отрезком касательной)*. Тогда получаем, что либо n, либо  равняется Б. Но для целочисленности х; у; z; ни k, ни  не должны равняться Б. Следовательно, k ≠ n = Б (либо ). Таким образом, решение поставленной нами задачи (определить значения n, при которых возможны целочисленные по х;у;z; решения уравнения xⁿ+уⁿ=zⁿ) можно сформулировать следующим образом:}

 

^{1). Уравнение вида xⁿ+уⁿ=zⁿ, где n>1 может иметь целочисленные (конечные) по х; у; z; решения только при n = 2; во всех остальных случаях целочисленность (конечность) х; у; z; приводит значение n к равенству Б, либо . Целочисленность х;у;z; в уравнении второго порядка (n=2) возможна только при условии, что х; у; z; являются числами, определяемыми по формулам: где - целые положительные числа, причем .}

         

^{Формулировку данного решения можно записать и так: уравнение ; являясь уравнением четырех переменных (х; у; z; n) в интервале значений ; может иметь целочисленные по всем четырем переменным решения, только при n=1 и  n=2. Во всех остальных случаях целочисленность (конечность) любых трех переменных приводит значение четвертой к равенству Б; или .}

 

^{2). Уравнение , в интервале значений n>1, справедливо при всех целых (конечных) значениях n, кроме n=2, и любом а – целом или дробном.}

^{При n =2 оно справедливо только при условии, что а≠ отношению любых двух из трех чисел, определяемых по формулам:}

^{, где  - целые положительные числа, причем .}

^{Причем из того, что уравнение ; справедливо  при всех а=с ( с – целое число), а для нахождения целочисленных по х; у; z решений уравнения , значение а должно равняться отношению двух из трех чисел (х; у; z), определяемых по вышеприведенным формулам.}

^{Отсюда следует, что отношения}

^{Таким образом,  мы получаем «системы» уравнений, не имеющих целочисленных решений:}

^{;  ;  .}

 

^{Некоторые и из этих уравнений, записанные в частном виде (при определенном значении С), рассматриваются в теории чисел на предмет их целочисленного решения. Например, ; или ; что равноценно ; при С=1 и  С=2.Записи этих уравнений в общем виде я не нашел.}

 

^{Знак  в «формулах общего вида» означает, что эти уравнения не могут иметь целочисленных решений при условии, что .}

 

^{P.S. Тот факт, что нахождение целочисленных решений квадратного уравнения}

 ^{более полно описывается через несколько переменных (; ), чем через одну (К)*, позволяет предположить, что описать простые числа () можно проще и полнее через несколько переменных, а не через одну (являющуюся одновременно номером числа в ряду простых чисел ()), как это принято в теории чисел.*}

 

^{Причем простые числа () проще описывать не через равенство (=), а через неравенство () как это сделано в «формулах общего вида». Т.е. мы описываем сложные числа () через равенство (=) и, заменяя его на неравенство (), исключаем сложные числа () и оставляем простые ().}

 

^{Вот как это выглядит в математической записи:}

^{Все простые числа () кроме числа «2» находятся в ряду нечетных чисел (), которые можно описать через их номер в ряду нечетных чисел (n) формулой}

 

^{Число «2» хоть и находится в ряду четных чисел, является простым по определению. Ведь четные числа – это числа, которые делятся на «2». Но для числа «2» это означает, что оно делится на «1» и само на себя (на 2).}

 

^{Можно показать, что нечетное число () является сложным (), если его номер числа в ряду нечетных чисел (n)  равняется 2ab+a+b+1.}

^{Соответственно, если номер числа в ряду нечетных чисел , это число является простым ().}